پارادوکس «پسر یا دختر»؛ معمای مشهور مارتین گاردنر + پاسخ

معمای «پسر یا دختر» یکی از سوالات جالب و به‌ظاهر متناقضی است که مارتین گاردنر، یکی از معروف‌ترین طراحان معما، مطرح کرده است. به دو دلیل به این سوال پارادوکس گفته می‌شود.

۱- جواب آن برخلاف انتظار بسیاری از افراد است.
۲- نحوه‌ بیان سؤال کمی ابهام دارد و باعث می‌شود دو پاسخ مختلف درست به نظر برسند.

برای اینکه این معما واضح‌تر شود، آن را کمی ساده‌تر و شفاف‌تر بیان می‌کنیم:

برای حل این مسئله، فرض کنید که هر کودک می‌تواند فقط پسر یا دختر باشد و احتمال هرکدام ۵۰ درصد است.

هشدار! اگر می‌خواهید خودتان فکر کنید، ادامه‌ی متن را نخوانید!

پاسخ معمای «پسر یا دختر»

 احتمال: ۳/۱

شاید در نگاه اول به نظر برسد که احتمال ۲/۱ است. یعنی اگر بدانیم فرزند اول پسر است، پس احتمال اینکه فرزند دوم هم پسر باشد ۵۰ درصد خواهد بود. اما اینجا موضوع کمی فرق دارد! ما به‌طور تصادفی یک خانواده را انتخاب نکرده‌ایم، بلکه فقط از بین خانواده‌هایی که حداقل یک پسر دارند دست به انتخاب زده‌ایم. این نکته، نتیجه‌ مسئله را تغییر می‌دهد.

بررسی تمام حالت‌های ممکن

یک خانواده با دو فرزند می‌تواند در چهار وضعیت مختلف باشد:

حالا دقت کنید که ما فقط خانواده‌هایی را انتخاب می‌کنیم که حداقل یک پسر دارند. یعنی خانواده‌ای که هر دو فرزند دختر باشند، از لیست حذف می‌شود. پس فقط سه حالت باقی می‌ماند:

۱. دختر – پسر
۲. پسر – دختر
۳. پسر – پسر

از بین این سه حالت ممکن، فقط یک حالت شامل دو پسر است. پس احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند، ۳/۱ است.

اشتباهات رایج در این مسئله

چرا ترتیب فرزند بزرگ‌تر و کوچک‌تر مهم است؟ مگر دو حالت بیشتر نداریم: «پسر-دختر» و «پسر-پسر»؟ پس چرا احتمال ۱ / ۲ نیست؟

ترتیب دقیقاً مهم نیست، اما این روشی است که کمک می‌کند مسئله را بهتر درک کنیم. در واقع، ترکیب پسر-دختر شامل دو حالت مختلف است:

• فرزند اول پسر، فرزند دوم دختر
• فرزند اول دختر، فرزند دوم پسر

اما ترکیب پسر-پسر فقط یک حالت دارد. بنابراین، احتمال داشتن دو پسر ۳/۱ خواهد بود.

 چطور ممکن است نحوه‌ انتخاب خانواده روی جواب تأثیر بگذارد؟ وقتی می‌دانیم یکی از فرزندان پسر است، پس احتمال پسر یا دختر بودن فرزند دیگر باید ۲/۱ باشد!

 روش انتخاب همیشه در مسائل احتمال تأثیر دارد!
در این مسئله، ما نمی‌دانیم کدام فرزند پسر است، فقط می‌دانیم که حداقل یکی از آن‌ها پسر است. این یعنی سه حالت ممکن داریم:

• پسر – دختر
• دختر – پسر
• پسر – پسر

پس احتمال داشتن دو پسر همچنان ۳/۱ است.

 می‌توان این مسئله را شبیه به پرتاب دو سکه در نظر گرفت:
احتمال اینکه یکی از سکه‌ها شیر و دیگری خط باشد، دو برابر بیشتر از احتمال افتادن دو خط است. چون دو راه برای به‌دست آوردن «یک شیر و یک خط» وجود دارد (اولی شیر، دومی خط یا برعکس)، اما فقط یک راه برای آوردن «دو خط» داریم.

 نتیجه‌ نهایی:
با در نظر گرفتن نحوه‌ انتخاب خانواده، احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند ۳/۱ است، نه ۲/۱!

منبع: روزیاتو