از "نظریه آشوب" چه می‌دانید؟

سینا فلاح‌زاده راسته‌کناری | علم با کمک مدل‌سازی به ما امکان می‌دهد که به تبیین سازوکار‌های حاکم بر رفتار طبیعت نائل شویم. چند مثال از مدل‌های معروف علمی که کمک‌های ارزشمندی در جهت درک واقعیت جهان به ما کرده‌اند عبارت‌اند از مدل مارپیچی مولکول دی‌ان‌ای، مدل‌های تکاملی در زیست‌شناسی، مدل انبساطی جهان در کیهان‌شناسی، مدل‌های کنشگرمحور در علوم اجتماعی، مدل موجی ذرات در فیزیک زیراتمی و بسیاری از مدل‌های دیگر علوم گوناگون.

مدل‌ها و به‌خصوص مدل‌های ریاضیاتی جایگاه ویژه‌ای در علوم طبیعی و فهم ما از طبیعت دارند. دانشمندان زمان فراوانی را صرف ساختن، تست‌کردن، مقایسه و بازبینی مدل‌های مورد نظر خود برای مطالعه پدیده‌های حوزه‌های تخصصی خود می‌کنند و حجم عظیمی از مطالب منتشرشده در ژورنال‌ها و کتاب‌ها به مطالعه مدل‌ها و جزئیات آن‌ها در علوم گوناگون اختصاص می‌یابد.

مدل‌های علمی به هیچ وجه توصیفات نهایی و قطعی واقعیت جهان نیستند و مانند نظریات علمی دائما در معرض تغییر و تبدیل هستند تا تطابق بیشتری با دیگر مدل‌ها و همین‌طور واقعیت‌های تجربی پیدا کنند. بسیاری از مدل‌ها را می‌شناسیم که اندک زمانی پس از معرفی توسط مشاهدات جدید رد شده و توسط مدل‌های پیچیده‌تر و یا ساده‌تر و سازگارتر جایگزین شده‌اند.

برای مثال مدل اتمی بوهر که جایگزین مدل اتمی تامسون شد و چندی بعد مشخص شد که برای توصیف رفتار اتم‌های پیچیده‌تر کارایی ندارد و باید توسط مدل‌های دیگر جایگزین شود. مدل‌ها از این جهت شباهت فراوانی با نظریه‌های علمی دارند.

البته نظریه‌ها و مدل‌ها تفاوت ظریفی با هم دارند که نباید دور از نظر بماند. در علم‌شناسی فلسفی و فلسفه علم معمولا نظریه‌های علمی عبارت از مجموعه‌ای از گزاره‌ها که درباره یک مدل خاص (که برای توصیف یک برش خاص از واقعیت ابداع شده است) حکمی صادر می‌کنند. ما مدل‌ها را می‌سازیم تا در کار نظریه‌پردازی به کمک ما بیایند.

البته در برخی از رشته‌های علمی و علوم مهندسی این دو را به صورت نادقیق باهم مساوی در نظر می‌گیرند. برای مثال در مهندسی مکانیک «مدل تیر اویلر-برنولی» و «نظریه تیر اویلر برنولی» را بدون توجه به جزئیات به جای هم به کار می‌برند. از سوی دیگر می‌دانیم که مدل‌ها برای توصیف واقعیت جهان زیاده از حد تمیز و انتزاعی هستند.

دانشمندان تمام رشته‌ها برای اینکه بتوانند کار خود را پیش ببرند مجبورند دست به ساده‌سازی‌های فراوانی در مدل‌های مورد بررسی خود بزنند تا از بار محاسباتی کار‌های خود بکاهند (برای مثال در فیزیک و علوم مهندسی) و یا اینکه بتوانند تحلیل‌های قابل‌فهمی از پدیده‌های مورد مطالعه خود عرضه کنند.

اما گاهی اوقات علت اینکه مجبوریم چندی یک بار نظریات و مدل‌های مورد استناد خود برای مطالعه پدیده‌های طبیعی را عوض کنیم این است که شواهد مبطل جدید از مطالعات تجربی ظهور می‌کنند. نحوه برخورد دانشمندان و فیلسوفان علم با مسئله شواهد مبطل و مبحث بطلان‌پذیری نظریه‌های علمی را به فرصتی دیگر موکول می‌کنیم.

از سوی دیگر باید بدانیم که علاوه بر قدرت توضیحی، موفقیت و اعتبار یک نظریه علمی به قدرتی که در پیش‌بینی رفتار جهان به ما می‌دهد نیز نهفته است. برای مثال ما بر اساس مکانیک نیوتنی می‌توانیم بدانیم پرتابه‌ای که با سرعت و زاویه خاصی پرتاب می‌شود در چه فاصله‌ای از مکان اولیه پرتاب فرود خواهد آمد.

نظریه آشوب
اما آنچه با ذکر این مقدمه کوتاه در باب نظریات و مدل‌های علمی قصد پرداختن به آن را داریم یکی از نظریه‌های نسبتا نوظهور در تاریخ علم به نام نظریه آشوب است که به ما اجازه می‌دهد برخی از حیرت‌انگیزترین و به ظاهر پیچیده‌ترین رفتار‌های عناصر طبیعت را مطالعه کنیم.

نظریه آشوب ابتدائا یک نظریه در علوم طبیعی ریاضیاتی است که به‌تدریج توانسته راه خود را به سایر عرصه‌های دیگر از جمله بیولوژی، علوم اجتماعی، روان‌شناسی، سیاست و... هموار کند. صد البته این از ویژگی‌های دوران مدرن است که از یک سو تحولات بزرگ در علوم طبیعی ریاضیاتی پس از چندی به سایر علومی که به صورت سنتی جزء علوم ریاضیاتی دسته‌بندی نمی‌شوند نیز نفوذ می‌کنند و از سوی دیگر آن علوم دیگر به‌تدریج میزان وابستگی‌شان را به تحلیل‌ها و مدل‌سازی‌های ریاضی به صورت روزافزون افزایش می‌دهند.

این پدیده بدون شک به موفقیت تکنولوژیکی حیرت‌انگیز و دوران‌ساز علوم ریاضیاتی برمی‌گردد که روش‌های مورد استفاده در این علوم را به صورت الگویی برای سایر علوم مطرح می‌سازد. به لحاظ تاریخی نظریه آشوب گسترش خود را مدیون کار‌های «هانری پوانکاره»، «ادوارد لورنتس»، «بنوا مندلبروت» و «مایکل فیگن‌باوم» است.

نخستین نکته‌ای که باید در بررسی سیستم‌های آشوبناک به آن توجه کنیم، این است که این سیستم‌ها سیستم‌هایی بی‌قانون نیستند که رفتاری کاملا تصادفی و نامربوط به شرایط حاکم بر مسئله از خود بروز بدهند. اتفاقا ممکن است رفتار آشوبناک را بتوانیم در سیستم‌های به نسبت ساده نیز مشاهده کنیم و دقیقا همین مسئله است که اهمیت پرداختن به نظریه آشوب را برملا می‌سازد.

حتی سیستم‌های بسیار ساده‌ای مثل پاندول‌های دوگانه و یا یک تیر در حال ارتعاش نیز می‌توانند به شرط وجود برخی شرایط رفتار‌های آشوبناک از خود بروز دهند. اما برای اینکه بتوانیم مفهوم رفتار آشوبناک را برای افراد غیرمتخصص توضیح دهیم نیاز به چند مقدمه کوچک از فیزیک و مکانیک داریم. در فیزیک پایه دینامیک عبارت است از علمی که ما را قادر می‌سازد تا تأثیر نیرو بر حرکت اجسام را بررسی کنیم و چنانکه می‌دانیم مهم‌ترین و نخستین نظریه منسجم دینامیک را نیوتن معرفی کرد.

نظریه بسیار موفق مکانیک نیوتنی که دینامیک هم یکی از زیرمجموعه‌های آن به حساب می‌آید دانشمندان را قادر ساخت تا بتوانند به مدت دو قرن (تا ظهور مکانیک کوانتومی و نسبیت) حرکت اجرام سماوی و زمینی را در ذیل آن بفهمند و مورد مطالعه قرار دهند. پیش‌نیاز دیگر ارائه یک تعریف ساده از نظریه آشوب فهم مفهوم سیستم‌های دینامیکی است: سیستم‌های دینامیکی عبارت از سیستم‌هایی که دارای رفتار عِلّی و معین هستن

معنی عِلّی بودن رفتار این سیستم‌ها این است که مسیر رفتاری آینده چنین سیستم‌هایی به رفتار گذشته آن‌ها و همچنین فرم کنونی آن‌ها بستگی دارد و معین بودن رفتار این سیستم‌ها به این معنی است که اگر شرایط حال حاضر این‌گونه سیستم‌ها و همین‌طور سایر عوامل تأثیرگذار بر آن‌ها که در آینده وارد عمل خواهند شد به دقت مشخص باشد می‌توان تمام مسیر آینده آن‌ها را به دقت پیش‌بینی کرد به‌طوری‌که جایی برای بخت و اقبال و شانس باقی نماند.

مثال‌های فراوانی از چنین سیستم‌هایی می‌توان ارائه کرد که برخی از آن‌ها ساده و برخی دیگر پیچیده هستند. به عنوان یک مثال ساده یک سیستم جرم فنر یا یک پاندول ساده را هم می‌توان به عنوان یک سیستم دینامیکی مورد بررسی قرار داد. نظریه سیستم‌های دینامیکی در طول صد سال گذشته ما را قادر ساخته است تا موفقیت‌های تکنولوژیکی بسیاری در زمینه ساخت سیستم‌های خودکار به دست بیاوریم که امروزه بخش عظیمی از تولیدات تکنولوژیکی مورد استفاده ما را تشکیل می‌دهند.

چنانکه گفتیم امروزه مطالعه پدیده آشوب از محدوده علوم طبیعی ریاضیاتی و علوم مهندسی بسیار فراتر رفته و وارد عرصه‌های دیگری نظیر زیست‌شناسی و اقتصاد و جامعه‌شناسی و... شده است و مفهوم گسترده‌تری از سیستم‌های دینامیکی در چنین علومی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

تا اینجا هر آنچه گفتیم نشان از قانون‌مندی و علیت و تعین داشت. اصول فیزیک نیوتنی به نحوی شکل‌دهنده دیدگاه کلاسیک در مورد دترمینیسم است به نحوی که تا پیش از ظهور فیزیک کوانتومی در دهه سوم قرن بیستم استعاره اهریمن لاپلاس (که در واقع چکیده دیدگاه کلاسیک در مورد توانایی‌های فیزیک کلاسیک در مورد قدرت علم در پیش‌بینی رفتار پدیده‌ها محسوب می‌شود) می‌توانست توسط فیلسوفان جدی گرفته شود.

با وجود این، سؤال اینجاست که به چه علتی دانشمندان مجبور شده‌اند به برخی از رفتار‌های خاص سیستم‌های دینامیکی نام آشوبناک بدهند که به نوعی طنین بی‌نظمی و افسارگسیختگی و بی‌قانونی در خود دارد. پاسخ این مسئله در یک ویژگی مشترک تمام سیستم‌های آشوبناک نهفته است و آن هم حساسیت بسیار زیاد آن‌ها به شرایط اولیه است که با عنوان اثر پروانه‌ای شناخته می‌شود.

اثر پروانه‌ای یعنی اینکه در محیط آشوبناک سیستم‌های آب و هوایی ممکن است بال زدن پروانه‌ای در برزیل در نهایت چنان توفان مهیبی تولید کند که کل آمریکا را دربنوردد! اگر بخواهیم به سادگی بگوییم که شرایط اولیه در نظریه سیستم‌های دینامیکی به چه معناست می‌توانیم آن را شرایطی بدانیم که یک سیستم در مقطع مشخصی از زمان دارد و ما قصد داریم که رفتار آینده سیستم را بر اساس آن پیش‌بینی کنیم. در مثال پرتابه، سرعت و زاویه پرتاب و نیز مکان اولیه جزء شرایط اولیه سیستم به حساب می‌آیند.

حال برای مثال اگر مکان اولیه پرتابه به مقدار کمی جابه‌جا شود از آنجایی که این سیستم آشوبناک نیست محل فرود پرتابه و مسیر حرکت آن به همان نسبت جابه‌جا خواهند شد. اما در مورد سیستم‌های دینامیکی دارای رفتار آشوبناک وضع به این منوال نیست زیرا معادلات توصیف‌کننده چنین سیستم‌هایی برخلاف پرتابه مثال ما غیرخطی هستند و پس از ورود به محدوده آشوبناک به شدت به شرایط اولیه حساس می‌شوند.

البته حساسیت به شرایط اولیه تنها ویژگی سیستم‌های دینامیکی دارای رفتار آشوبناک نیست. برخی دیگر از ویژگی‌های چنین سیستم‌هایی عبارت از: تکرار، خودتشابهی، دوشاخه‌زایی، خودساماندهی و حلقه‌های فیدبک. اما آنچه که در کار‌های هنری پوانکاره ریاضی‌دان نابغه فرانسوی به عنوان ویژگی چنین سیستم‌هایی مطرح می‌شود همین وابستگی به شرایط اولیه است.

حدود یک قرن بعد از «لاپلاس»، «پوانکاره» اعلام کرد که تصادف و تعین جبری یک سیستم وقتی که سیستم‌ها برای مدت‌های طولانی غیرقابل پیش‌بینی باشند به نحوی باهم سازگار می‌شوند: «یک علت بسیار کوچک که از دست ما در می‌رود می‌تواند یک معلول قابل ملاحظه ایجاد کند که ما نمی‌توانیم آن را نادیده بگیریم و به همین صورت است که این رخداد را به شانس نسبت می‌دهیم.

اگر قوانین حاکم و همین‌طور وضعیت جهان در نقطه اولیه مورد بررسی را به دقت می‌دانستیم می‌توانستیم وضعیت دقیق جهان در لحظه بعد را پیش‌بینی کنیم. اما حتی اگر قوانین طبیعت هیچ رازی را از ما پنهان نکنند وضعیت آن را تنها به صورت تقریبی خواهیم دانست. اگر این به ما اجازه بدهد که وضعیت لحظه بعدی جهان را با همان تقریب به دست بیاوریم خواهیم گفت که آن پدیده‌ای که قانون حاکم بر آن را داشتیم پیش‌بینی شده است.

اما همیشه چنین نیست و تفاوت‌های کوچک در شرایط اولیه می‌توانند تفاوت‌های بسیار بزرگی در نتیجه کار ایجاد کنند. یک خطای کوچک در تشخیص لحظه اول یک خطای فاحش در پیش‌بینی لحظه بعدی ایجاد می‌کند. در چنین شرایطی پیش‌بینی امکان‌ناپذیر است و ما یک پدیده تصادفی داریم»

۱. باورنکردنی است که یک دانشمند با کار کردن روی معادلات ریاضی تا این حد فهم عمیقی از رفتار برخی پدیده‌ها به هم برساند به طوری که بصیرت‌هایش چندین دهه بعد هنوز هم مؤثر و دارای فعلیت باشند، اما نبوغ «پوانکاره» این را ممکن کرده است و نظریه آشوب هم‌اکنون مورد توجه بسیاری از پژوهشگران در عرصه‌های گوناگون است.

آنچه «پوانکاره» قصد دارد در قالب این عبارات بیان کند چکیده چیزی است که امروزه مکانیک آشوبناک و همینطور تحلیل سیستم‌های رندوم مورد قبول همه دانشمندان است: سیستم‌هایی غیرخطی (حتی ساده‌ترین‌شان) در بسیاری از موارد اجازه پیش‌بینی آینده‌های دور را به ما نمی‌دهند.

جالب اینجاست که «پوپر» بدون اینکه از نظریه آشوب سخنی به میان بیاورد در بحث از علوم اجتماعی از ما می‌خواهد که دست از پیش‌بینی‌های محیرالعقول درباره آینده‌های دور (که در واقع دیگر از حالت پیش‌بینی خارج شده و وارد حیطه پیشگویی می‌شود) برداریم.

به هر حال وقتی «پوانکاره» ثابت کرده است که برخورد سه جرم به هم یک مسئله با پاسخ آشوبناک است و قوانین نیوتن نمی‌توانند کمک خاصی به ما در جهت فهم رفتار آشوبناک سیستم و پیش‌بینی آینده آن کنند چه انتظاری داریم که پیش‌گویی‌هایی که در مورد آینده کلان تاریخ می‌شود، اعتباری داشته باشند؟!

در مورد مسئله سه جرم با سه جرم طرفیم و تقریبا همه چیز هم در مورد آن‌ها مشخص است، اما پیش‌بینی‌هایی که در مورد جوامع انسانی می‌شود با جوامعی سر و کار دارد که گاهی ده‌ها میلیون (و یا حداقل سه نفر!) انسان را شامل می‌شوند. انسان‌هایی که هر کدام از آن‌ها به تنهایی یک سیستم پیچیده به حساب می‌آیند!

نظریه آشوب و آب‌وهوا
به عنوان یک مثال از سیستم‌های آشوبناک در این قسمت به سیستم‌های آب‌وهوایی می‌پردازیم. شاید برای همه سؤال باشد که چرا گاهی پیش‌بینی‌های آب‌وهوایی برای آینده‌های نه چندان دور ممکن است به شدت دور از واقع از آب در بیایند.

صد البته در اینگونه موارد خطا‌های انسانی و گزارشات اشتباه یا اشتباهات محاسباتی نقش بزرگی دارند و از طرفی این را هم می‌دانیم که با وجود پیشرفت‌های بزرگ فیزیک در این عرصه هنوز امکان اینکه برخی از قوانین حاکم بر این سیستم‌ها مانند همه برش‌های دیگر واقعیت فیزیکی بر ما مجهول باشد وجود دارد.

اما آنچه در این نقطه از تاریخ علم با توجه به دانسته‌ها می‌توانیم بگوییم این است که سیستم‌های آب‌وهوایی از جمله سیستم‌های غیرخطی و بلکه از نوع سیستم‌های پیچیده آشوبناک هستند و عبارت اثر پروانه‌ای هم با توجه به تاریخچه نظریه آشوب در زمینه سیستم‌های آب و هوایی برای توصیف حساسیت این سیستم‌ها به شرایط اولیه به کار می‌رود.

یکی از دانشمندانی که در ترویج و گسترش نظریه آشوب سهم عمده‌ای داشت «ادوارد لورنتس» محقق دانشگاه ام‌آی‌تی بود. او در سال ۱۹۶۱ در روال بررسی معادلات حاکم بر سیستم آب‌وهوایی به صورت اتفاقی متوجه یک پدیده عجیب شد. قرار بود معادلات مورد نظر او توسط کد‌های کامپیوتری حل شوند.

او در محاسبه دوباره تصمیم گرفت از انجام دوباره قسمتی از محاسبات صرف‌نظر کند و به جای آن نتیجه آن قسمت را که یک عدد بود به سیستم بدهد و کامپیوتر را برای کامل کردن محاسبات رها کند.

پس از بازگشت نتیجه به‌دست‌آمده به نحو شگفت‌آوری با آنچه در محاسبات قبلی به‌دست‌آمده بود، تفاوت داشت. «لورنتس» پس از مدتی جست‌وجو و انجام دوباره روال محاسبات متوجه شد که این تفاوت بسیار بزرگ در واقع ریشه در این امر دارد که او به جای آنکه عدد مورد نظر را به صورت کامل وارد کند از سه رقم سمت راست صرف‌نظر کرده است. این درصد بسیار کوچک تفاوت در عدد داده‌شده در واقع مسئول ایجاد آن همه تفاوت بود.

این اتفاق به منزله تولد دوباره نظریه آشوب شناخته می‌شود. اتمسفر زمین یک محیط آشوبناک است و درست به همین دلیل است که باید در محافظت از تعادل شکننده آن کوشا باشیم. با توجه به آنچه از نظریه آشوب دانسته‌ایم کوچک‌ترین تغییری در وضعیت میزان آلاینده‌ها یا بخار آب موجود در جو زمین ممکن است به چنان وضعیتی منجر شود که ادامه حیات روی زمین را با مخاطره مواجه کند.

آنچه در مورد کاربرد‌های نظریه آشوب در بحث آب‌وهوا گفتیم تنها یک نمونه از بی‌شمار کاربرد دیگر این نظریه در علم و حتی زندگی هر روزه ماست. در فرصت‌های دیگر به جنبه‌های دیگر این بحث خواهیم پرداخت. نظریه آشوب به ما می‌آموزد آنچه را که ما پایدار و صبور می‌دانیم به قول شاعر هم‌روزگار ما در واقع همانند «تعادلِ ظریفِ یکی ناممکن در ذُروه امکان» ۲ است. شما چه فکر می‌کنید؟ آیا بال‌زدن پروانه‌ها را می‌توان آبستن توفان‌ها دانست؟!

پی‌نوشت‌ها:
۱- Poincaré H. Méthode nouvelles de la
mécanique céleste. Goroff DL, trans-ed. New Methods of Celestial Mechanics in History of Modern Physics. New York, NY: Springer-Verlag; ۱۹۹۲.

۲- شاملو: مدایح بی‌صله