چرا «صِفر» مدت‌ها یک «عدد ممنوعه» بود؟
مشکلات مفهومی، دوگانگی‌های ایدئولوژیکی و بیگانه‌هراسی، پذیرش مفهوم صفر را برای مدت طولانی به تأخیر انداختند، اما امروزه تمام ریاضیات بر پایه آن بنا شده است.
فرادید| «وقتی می‌گوییم «من در فلان چیز صفر هستم»، یعنی هیچ توان و جایگاهی برای خود در مورد آن موضوع قائل نیستیم. ما «صفر» را معمولا به عنوان مفهومی «منفی» درک می‌کنیم، اما در حقیقت صفر تنها عدد حقیقی است که نه مثبت است و نه منفی؛ صفر خنثی است.
به گزارش فرادید، پس چرا این برداشت منفی از صفر وجود دارد؟ انسان‌ها مدت‌هاست احساسات شدیدی نسبت به صفر داشته‌اند؛ در برهه‌هایی حتی در برخی مکان‌ها این رقم «ممنوع» شده بود. بیگانه‌هراسی و ایدئولوژی این مفهوم قدرتمند را عقب نگه داشتند. با این حال، امروزه تمام ریاضیات بر این عدد استوار است.
تعریف «صفر» آسان نیست. در واقع، عصب‌شناسان به روش‌های مختلف، نحوه درک ما از «صفر یا هیچ» را بررسی کرده‌اند. بنابراین جای شگفتی ندارد که فرهنگ‌های مختلف نیز در طول تاریخ برخوردهای متفاوتی با صفر داشته‌اند.
شگفت‌آور این است که انسان‌ها چطور مدت‌زمانی دیرین بدون این مفهوم سر کرده‌اند. اعداد همواره همراه انسان‌ها بوده‌اند. قدیمی‌ترین اسناد تاریخی حاوی اعداد هستند. تجارت بدون آن‌ها ممکن نیست و برای اندازه‌گیری زمین یا ثبت دستور تهیه غذاها نیز به عدد نیاز داریم. با این حال، صفر تا این حد رایج نیست و برای همۀ این فعالیت‌ها ضرورت بی‌چون و چرا ندارد.
در نتیجه، پذیرش صفر در جایگاه یک عدد مستقل چندین هزار سال طول کشید و مردم بارها در برابر آن مقاومت کردند، اما امروزه می‌دانیم تمام اعداد دیگر و در حقیقت تمام ریاضیات مدرن بدون صفر به‌راستی هیچ هستند.
تاریخی از نبودن
صفر ممکن است بیش از یک‌بار و با کاربردهای متفاوت اختراع شده باشد. برای نمونه، حدود ۵۰۰۰ سال پیش بابلی‌ها مفهومی از صفر داشتند، اما این صفر عدد مستقلی محسوب نمی‌شد. آن‌ها مانند ما از سامانه ارزش مکانی برای نمایش اعداد استفاده می‌کردند: اگر سه رقم مانند ۱۴۵ بنویسیم، عدد اول نمایانگر صدگان، دوم دهگان و سوم یکان است.
بابلی‌ها نیز روش مشابهی داشتند، ولی سامانه آن‌ها بر پایه عدد ۶۰ بود نه ۱۰. در چنین سامانه‌ای، نیاز به صفر برای جداسازی اعدادی مانند ۱۰۵ و ۱۵ ضروری است. بابلی‌ها با گذاشتن یک فاصله این جداسازی را نشان می‌دادند که یکی از قدیمی‌ترین اشاره‌ها به چیزی مانند صفر است.
جالبست که بسیاری از جوامع باستانی بدون این مفهوم زندگی می‌کردند. در یونان باستان، انواع گفتگوهای پیچیده ریاضی مطرح می‌شد مانند قضیه فیثاغورث یا اصول منطق ارسطو، بدون نیاز به صفر. مفهوم انتزاعی «صفر یا هیچ» برای یونانیان باستان شناخته‌شده بود، اما آن را بخشی از منطق می‌دانستند نه ریاضیات. صفر عجیب است، برای نمونه، هیچ عددی را نمی‌توان بر صفر تقسیم کرد. یونانیان باستان این ویژگی را دوست نداشتند.
منشأ دقیق صفر به شکل امروزی آن هنوز مورد بحث است، اما می‌دانیم که در قرن هفتم میلادی، دانشمند برجسته هندی به نام «برهماگوپتا» صفر را در جایگاه یک عدد معرفی کرد، همراه با اعداد منفی که تا آن زمان استفاده نمی‌شدند.
پیش‌تر، مسائل ریاضی بیشتر با استفاده از اشیاء هندسی نمایش داده می‌شدند. برای نمونه، ممکن بود بخواهید بدانید چگونه دو زمین مستطیلی را طوری به هم متصل کنید که یک قطعه زمین مربع با همان مساحت تشکیل شود. در چنین مسائلی، اعداد منفی و صفر کاربردی ندارند.
اما برهماگوپتا به مسائل انتزاعی نیز علاقه‌مند بود. او برای استفاده درست از این اعداد جدید، ابتدا به مجموعه‌ای از قواعد نیاز داشت تا نحوه‌ی کار با آن‌ها را مشخص کند. او در کتاب Brāhmasphuṭasiddhānta نوشته: مجموع دو عدد مثبت، مثبت است. مجموع دو عدد منفی، منفی است. مجموع یک عدد مثبت و منفی، برابر با تفاضل آن‌هاست. اگر برابر باشند، نتیجه صفر است. او همچنین نوشته: مجموع صفر و عدد منفی، منفی است. مجموع صفر و عدد مثبت، مثبت است. مجموع دو صفر، صفر است.
به همین روش، برهماگوپتا روش‌هایی برای ضرب و تقسیم این اعداد جدید بیان کرد. قواعدی که او حدود ۱۴۰۰ سال پیش نوشت، همان‌هایی هستند که امروزه در مدرسه می‌آموزیم، به‌جز یکی: او صفر تقسیم بر صفر را برابر صفر تعریف کرد که از دیدگاه ریاضیات امروزی نادرست است.
گسترش تدریجی صفر
قواعد برهماگوپتا همراه با سامانه عددی ده‌دهی هند، خیلی زود در سراسر جهان پخش شد. دانشمندان مسلمان این مفاهیم را پذیرفتند و سامانه عددنویسی عربی را توسعه دادند که پایه اعداد مدرن ماست. از آنجا، صفر و ارقام عربی به اروپا رسیدند، البته در بدترین زمان ممکن! جنگ‌های صلیبی بین قرن‌های یازدهم تا سیزدهم رخ دادند و با آن‌ها، ردّ گسترده‌ی هرگونه اندیشه یا دانش با منشأ عربی یا اسلامی نیز همراه بود.
در فلورانس ایتالیا، این روند در سال ۱۲۹۹ به اوج رسید و عدد صفر ممنوع شد. آن زمان اقتصاد این شهر رونق داشت و بازرگانانی از سراسر جهان برای فروش کالاهای خود به آنجا می‌آمدند. در شهری که به بانکداری و تجارت مشهور بود، صفر مشکل‌ساز شده بود: با افزودن چند صفر به راحتی می‌شد عددی را افزایش داد. عدد ۱۰ به‌سادگی می‌توانست ۱۰۰ یا حتی ۱۰۰۰ شود، درحالی‌که این امکان با ارقام رومی وجود نداشت. بنابراین رهبران شهر تصمیم گرفتند صفر را ممنوع کرده و به ارقام رومی پایبند بمانند که آزموده‌شده بودند.
اما محاسبه با ارقام رومی بسیار پیچیده و مایه‌ی زحمت بود. به همین دلیل، طی بیش از صد سال، ارقام اسلامی و صفر کم‌کم غالب شدند. سرانجام در قرن پانزدهم، جامعه غربی این مفاهیم را به‌طور کامل پذیرفت.
جنجال بی‌سبب
در آغاز قرن بیستم، ارنست زِرمِلو ریاضیدان مجموعه قواعدی را ایجاد کرد که مبنای ریاضیات مدرن شد. آن زمان، منطق‌دانان به دنبال ساده‌ترین قواعد ممکن بودند که بتوان از آن‌ها تمام ریاضیات را استنباط کرد. چه اعداد، چه معادلات، چه اشیاء هندسی، همه چیز باید از چند اصل پایه نشأت بگیرد.
زرمولو ۹ اصل ساده را تعریف کرد؛ یعنی فرضیه‌های اثبات‌نشده‌ای که همه چیز بر آن‌ها بنا شده است. این اصول هنوز هم مورد استفاده هستند. یکی از آن‌ها می‌گوید: «مجموعه‌ای تهی وجود دارد.» این مجموعه تهی شبیه صفر در نظریه مجموعه‌ها است. همه‌چیز از همین‌جا آغاز می‌شود، این جمله اولیه و اصلی ریاضیات است. در واقع، این تنها مجموعه‌ای است که زرملو آن را به‌روشنی ساخته است. برای نمونه باقی قواعد می‌گویند: می‌توان دو مجموعه را ترکیب کرد و مجموعه‌ی سوم را ساخت یا می‌توان عنصری از یک مجموعه انتخاب کرد.
همه چیز از مجموعه تهی، یا همان «صفر» مشتق می‌شود. برای نمونه اعداد از آن ساخته می‌شوند. برای این کار می‌توان مجموعه را مانند کیسه‌ای در نظر گرفت که می‌توان درون آن اشیایی قرار داد. مجموعه تهی مانند کیسه خالی است.
برای ساختن اعداد، زرمولو با صفر آغاز کرد. صفر برابر با مجموعه تهی یا همان کیسه خالی است. «یک» مقداری است که در آن، صفر پیش‌تر تعریف‌شده جای گرفته است؛ بنابراین کیسه‌ای است که یک کیسه خالی درون آن است. دو مقداری است که شامل ۱ و ۰ می‌شود یا به بیان دیگر، کیسه‌ای که درون آن کیسه‌ای حاوی یک کیسه دیگر است. عدد سه، کیسه‌ای است که شامل ۰ و ۱ و ۲ می‌شود؛ بله می‌دانم کمی گیج‌کننده شد!
به‌شکل نموداری، بهتر می‌توانیم منظور را برسانیم اگر ∅ نماد مجموعه تهی باشد:
0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
زرملو به این ترتیب پایه‌های اعداد صحیح را بنا نهاد. از این نقطه، تمام اعداد دیگر قابل‌تعریف هستند، از جمله اعداد منفی، کسری، گنگ و غیره.
مفاهیم ریاضی دیگر غیر از اعداد نیز می‌توانند به همین روش به‌دست آیند. با این روش می‌توان به تدریج به ساختارهای انتزاعی پیچیده‌تری رسید تا در نهایت به پیشرفته‌ترین ساختارهای ریاضیات مدرن دست یافت. این خوش‌شانسی بزرگ بشریت است که سرانجام به قدرت صفر در جایگاه نقطه آغاز پی برد و آن را پذیرفت.
مترجم: زهرا ذوالقدر
